Over magische vierkanten orde 6

Deze website heeft sinds 15 maart 2018 14.467.088 zuiver magische vierkanten gedolven. Dat zijn er 74.860 per etmaal, zo’n 27 miljoen per jaar. Dat lijkt veel maar als dit tempo wordt aangehouden zal het laatste vierkant pas over 667 miljard jaar worden gedolven.

Daar staat tegenover dat er in de voorbije 5.000 jaar slechts een stuk of vijf gevonden zijn. Dat lijkt weinig maar magische vierkanten zijn relatief dun gezaaid en dus moeilijk te vinden.

Hoe moeilijk?

Om te beginnen: er zijn heel erg veel zuiver magische vierkanten van de orde 6: naar schatting zo’n 18 triljoen (18.000.000.000.000.000.000). [1][2]

Dat ze zo moeilijk te vinden zijn komt doordat er zo ontzettend veel niet-magische vierkanten zijn. Het aantal mogelijkheden om de getallen 1 t/m 36 in een willekeurige volgorde te zetten bedraagt ruim 0,37 sextiljoen (371.993.326.789.901.217.467.999.448.150.835.200.000.000). [3]

De kans dat een willekeurig vierkant zuiver magisch is, is daardoor astronomisch klein: er is er maar 1 per 2000 triljoen (2.000.000.000.000.000.000.000).

De kans, kortom, dat je bij toeval op een zuiver magisch vierkant stuit, is verwaarloosbaar klein.

Ook met brute rekenkracht wordt het nog een hele toer vierkanten te delven. Het script achter deze site zoekt daarom op een slimme manier naar ordeningen die met een grote waarschijnlijkheid een zuiver magisch vierkant opleveren. Dat leidt in zo’n 10% van de pogingen tot succes. Door deze routine een paar maal te herhalen wordt die kans vergroot tot om en nabij de 90%.

Noten:
[1] K. Pinn, C. Wieczerkowski, ‘Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo’ (1998), Int. J. Mod. Phys. C 9 (1998) 541, DOI: 10.1142/S0129183198000443.
[2] Een andere schatting komt op 8,6 triljoen - Skylar R. Croy, Jeremy A. Hansen, Daniel J. McQuillan, ‘Calculating the Number of Order-6 Magic Squares with Modular Lifting’.
[3] Het aantal permutaties van niet-magische vierkanten is n! (n faculteit). Waarbij n = orde2. In dit geval is n dus 62 = 36.

(Met dank aan Vince de Vries)